Blog # 0.07 Juego de dados “Ojos de Serpiente” y el juego en el desarrollo de competencias matemáticas

Hace pocos días en el canal de Matematiza, publiqué el Vídeo “Juego de dados Ojos de Serpiente” https://youtu.be/SCuJnPdQKS4,  en el cual se describen las reglas y se da un ejemplo de este entretenido juego con dados. Este juego lo he compartido con mi familia así como con estudiantes, docentes y participantes de talleres de capacitación en habilidades matemáticas, desde hace varios años. En todos los casos la reacción ha sido la misma: muchas risas, algarabía, sana competencia, en pocas palabras se la han pasado de lo mejor. Al ver estas reacciones me he preguntado, ¿Por qué no utilizamos más este tipo de actividades tanto en nuestros hogares como en los ambientes educativos? Es una actividad de muy bajo presupuesto que favorece el desarrollo de competencias matemáticas y de habilidades sociales.

A la mejor es un asunto cultural. En países como los Estados Unidos existe hace muchos años la cultura de jugar diversos juegos de mesa, y esta es una industria bien cimentada en ese país con empresas como Hasbro, Mattel, Parker Brothers, ThinkFun, entre otras. También puede ser un asunto generacional, ya que los chicos de hoy en día (y desde hace algún buen tiempo) se inclinan más por los videojuegos y más recientemente por los juegos en la computadora y en los dispositivos móviles. Sin embargo, considero una lástima que este tipo de actividades se vaya perdiendo con el tiempo, y propongo un rescate de las mismas, principalmente a través de los ambientes educativos, ya que son muchas las ventajas de poder implementarlas.

De lo simple a lo complejo

Es sorprendente como un juego con un equipamiento y unas reglas tan sencillas como este, pueda prestarse a practicar una serie de contenidos tan amplia; desde la identificación y concepto del número hasta cálculo y análisis estadístico de probabilidades. Por ejemplo, se empieza con la noción de número por medio del sistema unario, que como lo he mencionado anteriormente relaciona un objeto o una marca, en este caso un punto físico en el dado, con un elemento de la realidad, en este caso un punto en el marcador. También se practica la subitización, la cual consiste básicamente en la habilidad de identificar esquemas de elementos en formaciones identificables como números, por ejemplo es bien reconocida la organización de cinco puntos formando una “equis” que incluyen los dados y las fichas de dominós, la organización del seis en dos hileras de tres puntos, o la organización del cuatro formando un cuadrado de puntos, etc.

De manera que incluso niños de edad preescolar pueden empezar a experimentar con los juegos de dados e ir aprendiendo las nociones básicas del conteo y de la suma de números de un dígito. Por ejemplo al lanzar un dado con un 5 y otro con un 3, aprenden a identificar un esquema de 8, sin necesidad de contar los puntos uno a uno. Y así con las demás combinaciones. Aprenden los dobles, los cuales como es obvio se corresponden con la tabla del dos, de tal modo que cuando ven un doble tres en los dados, identifican automáticamente el número seis, o cuando ven el doble cinco identifican automáticamente el número 10, y todo ello va cimentando muy bien las bases de la noción y comprensión del número, así como la habilidad de sumar cantidades de un dígito, que como es de suponer, es el punto de partida para poder sumar cantidades mayores posteriormente.

Luego en este juego, se ejercita la memoria y la abstracción al tener que ir recordando los puntos que se van acumulando a lo largo de varias tiradas dentro de un solo turno, por ejemplo cuando se verbaliza lo que se va observando durante el juego. Por ejemplo, un participante tira un 5 con un 4, e inmediatamente dice “nueve” (de nuevo, sin contar los puntitos uno por uno, o sea por medio de la subitización), luego vuelve a arrojar los dados y cae un 4 con un 2, y dice: “más seis, serían… quince”, y en su mente tuvo que ingeniárselas para llegar a esta conclusión, luego de usar el recurso que sea, quizá tomando uno de los puntitos a la vista y completando diez y dándose cuenta que de los seis puntos a la vista quedarían 5 por lo que el subtotal es quince, luego dudando un momento si se arriesga a tirar los dados de nuevo y atreviéndose lanza un hermoso doble seis, por lo que emocionado dice: doce (ya ha reconocido el patrón de doble seis es igual a doce, la mejor tirada en los dados) y en un instante dice: “serían… veinte y… ¡siete!, ¡Allí me quedo! Lo más probable es que para sumar el doce con el quince previo (para lo cual obviamente ejercitó la memoria de corto plazo), haya sumado primero un diez al quince, llegando a 25 y por último añadiéndole los restantes dos para llegar a 27, lo cual se hace con la práctica en virtualmente fracciones de segundo.

En el sistema que propongo, y como práctica y refuerzo de las técnicas de cálculo mental que hemos visto en los vídeos de la serie “Cálculo Mental Sumas” en YouTube, como este donde se compartieron técnicas para la suma de números de dos dígitos  https://youtu.be/8AbNjdKumXM. Se propone que cada jugador vaya anotando el marcador con la técnica del “huevito estrellado” o “huevo frito”, donde se colocan las decenas redondas por un lado y los dígito sueltos por el otro, para que la final de cuentas cuando se haga la sumatoria parcial o total de los puntos, nos acostumbremos a sumar primero las decenas y luego las unidades, tal como se ha demostrado ser más fluido y comprensible en el cálculo mental.

Aparte, cuando un jugador hace una revisión rápida parcial de sus puntos acumulados, percatándose por ejemplo que lleva 82, automáticamente también hace un estimado mentalmente de cuántos puntos le hacen falta para completar los 100, y de nuevo aquí aplica técnicas intuitivas de cálculo mental, que normalmente son diferentes a las enseñadas en la educación tradicional. En este ejemplo podría quizá primero pensar que le faltan “como veinte”, pero eso sería si llevara ochenta, pero como lleva ochenta y dos, quiere decir que le faltan solamente dieciocho. De nuevo, se corrobora que estas técnicas ‘intuitivas’ son sumamente efectivas comparadas con la metodología de los algoritmos tradicionales donde nos enseñan a poner el 100 arriba del 82 en columnas alineadas de manera vertical y empezar por la posición de las unidades diciendo: “cero menos dos, no se puede… le presto al de a la par, como también es cero, no se puede, por lo que le presto al uno, y ahora tengo diez menos dos, igual a ocho. Escribo el ocho… Ahora el de a la par que era cero y después fue diez es ahorita un nueve… así que nueve menos ocho es igual a uno. Me quedan dieciocho”

Si lo piensas un poco, te darás cuenta que esta última manera de restar es bastante ineficiente comparada con la manera ‘intuitiva’, por no decir ridícula. No es práctica, ni fluida y en muchos casos tampoco es comprensible. Así que el juego ejercita competencias de habilidad mental de manera natural. Pero acá no hemos tocado aún cosas muy complejas.

A medida que un jugador va avanzando en el juego, quizá perdiendo varias jugadas contra jugadores más experimentados, se va dando cuenta que en este juego como en muchos otros, hay que ser bueno para evaluar riesgos. Qué tanto me tengo que arriesgar a acumular más puntos con el peligro que me salga un uno, o pero aún, los dos “ojos de serpiente”. Entonces, tal vez sin darse cuenta, el jugador se va adentrando en el mundo de las probabilidades, y sabe que tarde o temprano es prácticamente inevitable que aparezca el bendito uno.

Estudiantes de grados más altos o personas quienes gustan evaluar el riesgo y no dejar muchas cosas al azar pueden sentarse a analizar más despacio las probabilidades, y descubrir probablemente que las probabilidades matemáticas muchas veces desafían a la intuición.

Estas probabilidades se analizan en el siguiente vídeo:

Desafiando a la intuición

A primera vista es fácil suponer que la probabilidad que aparezca algún uno en una tirada de dados es de aproximadamente una de seis, ya que el dado al ser un cubo, tiene seis lados, todos ellos con la misma probabilidad de mostrarnos su cara al rodar. Sin embargo, en este caso, no se está jugando con un dado, sino con dos, lo cual añade otro elemento al cálculo de las probabilidades. Veamos la siguiente imagen, en donde se han utilizado dos dados de distinto color para mostrar todas las posibles combinaciones al arrojar dos dados equilibrados sobre una superficie plana (Si somos muy estrictos podríamos debatir si los dados perfectamente equilibrados existen o no, o si se puede entrenar para lanzar los dados de tal manera que obtengamos tal o cual número, pero ese es tema de debate para otro blog. Aquí asumiremos que cada dado tiene la misma probabilidad de mostrar cualquiera de sus seis caras)

Como se puede observar en la imagen, existen 36 combinaciones posibles al lanzar dos dados. A esto se le denomina en lenguaje de probabilidades, el espacio muestral. Si queremos calcular la probabilidad de obtener un uno (o los dos) y perder nuestro turno sin puntos en este juego, basta con contar aquellas combinaciones en donde aparezca algún uno, en este caso la fila superior y la columna de la izquierda… en total 11 combinaciones, de 36 posibles. De tal manera que la probabilidad de fallar es de 11/36 = 0.30555, dicho en otras palabras, entre un 30% y un 31%, lo cual está grosso modo cerca de un tercio o uno de cada tres, y uno de cada tres, es obviamente mucho más común que ocurra que uno de cada seis, como se hubiera podido suponer al principio. De hecho, es casi el doble de probable, lo cual contradice a nuestra suposición inicial.

Por otra parte, la probabilidad de lograr una tirada “efectiva”, es decir, una que nos dé la oportunidad de sumar puntos, es obtenida en cualquiera otra de las 25 combinaciones restantes, o sea 25/36 = 0.694444, en otras palabras alrededor de un 69 %, o sea cerca de dos terceras partes. Lo cual en estadística a veces se considera como un evento “normal”.

Pero, ¿qué pasa si luego de lanzar los dados exitósamente, nos decidimos a arriesgarnos y lanzar los dados de nuevo? Algo dentro de nosotros nos dice que es más probable que esta vez nos salga un uno… tal vez es nuestro pesimismo, o quizá un sentido de intuición más general que nos dice que es más fácil fallar en una muestra mayor, algo así como el dicho que reza “Tanto va el cántaro al agua, que por fin se rompe”. Pero analicemos los hechos: Cada tirada de los dados es un evento totalmente independiente uno del otro. Un término técnico para esto en estadística es “muestreo con reemplazo”, (a diferencia de un juego de cartas, donde luego que sale una carta, las probabilidades de que salga determinada carta, se ven influidas por la que ya salió, lo cual sería un “muestreo sin reemplazo”). Así que nuestras probabilidades de fallar son aproximadamente otra vez de un tercio, y las de sumar puntos otra vez de aproximadamente dos tercios. Sin embargo, cuando se analiza globalmente la situación, nuestra intuición original sí tenía algo de razón. Veamos:

¿Qué tan creíble te parecería si te digo que lancé mil veces un par de dados y nunca me cayo ningun uno? Una de dos, o simplemente soy un mentiroso o los dados están “arreglados” lo cual me convierte en un tramposo. Nuestra intuición nos dice que no es posible tirar tantas veces dos dados regulares y nunca obtener un uno. La realidad es que “imposible” precisamente no es. La palabra “imposible” es un término muy radical. Pero cualquier matemático estará de acuerdo en que es tan ridículamente poco probable que raya en lo mitológico. Pero si te digo que lancé un par de dados diez veces y nunca me salió un uno, todavía es difícil de creer, pero está bastante lejos de ser imposible.

Lo bonito es que la matemática nos permite estimar qué tan probable o improbable es cada uno de estos escenarios. Recuérdate que estamos analizando las probabilidades de cada uno de estos escenarios de manera ‘global’, por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de realizar cinco ‘tiradas’ y que no te salga un uno.

Afortunadamente para esto existen fórmulas muy sencillas. En este caso basta por multiplicar la probabilidad de hacer una tirada eficaz por la probabilidad de hacer otra tirada eficaz, o sea, multiplicar 25/36 x 25/36 o 25²/36² lo cual da como resultado un 48.23%, o sea de un 50% de los casos, o uno de cada dos. De manera que en un turno de un jugador, si él decide como estrategia que sin importar cuántos puntos acumule, se anotará su puntuación luego de dos tiradas de los dados, podemos esperar que fracase casi en la mitad de los intentos y tenga éxito en la otra mitad. Para lograr tres ‘tiradas’ sin sacar ningun uno, las probabilidades se calculan al multiplicar 25/36 x 25/36 x 25/36 o 25³/36³, o sea 33.5% lo cual está muy cerca de un tercio. Y aquí la cosa ya se pone ‘cuesta arriba’, porque suponemos que si un jugador decide como estrategia que cada vez que sea su turno esperará a tirar tres veces los dados para anotarse puntos, esperaríamos que fallara en dos de cada tres intentos, y eso ya es una estrategia cuestionable de juego. La probabilidades para más ‘tiradas’ como es comprensible, las he calculado en una hoja de cálculo, ya que realizar todos estos cálculos a mano sería absurdo, e incluso con calculadora es bastante tardado, además de limitado, debido a que estamos tratando con crecimiento exponencial, y las calculadoras tienen muchos límites con el número de dígitos que pueden procesar. La tabla que elaboré la muestro a continuación:

Tirada	Numerador	Denominador	Probabilidad (p)	Probabilidad %	Puntaje esperado
1	25	36	0.6944444444	69.4444%	8
2	625	1296	0.4822530864	48.2253%	16
3	15625	46656	0.3348979767	33.4898%	24
4	390625	1679616	0.2325680394	23.2568%	32
5	9765625	60466176	0.1615055829	16.1506%	40
6	244140625	2176782336	0.1121566548	11.2157%	48
7	6103515625	78364164096	0.07788656582	7.7887%	56
8	152587890625	2821109907456	0.05408789293	5.4088%	64
9	3814697265625	101559956668416	0.03756103676	3.7561%	72
10	95367431640625	3.65616E+15	0.0260840533	2.6084%	80
11	2.38419E+15	1.31622E+17	0.01811392591	1.8114%	88
12	5.96046E+16	4.73838E+18	0.01257911521	1.2579%	96
13	1.49012E+18	1.70582E+20	0.008735496675	0.8735%	104
14	3.72529E+19	6.14094E+21	0.006066317136	0.6066%	112
15	9.31323E+20	2.21074E+23	0.004212720233	0.4213%	120
16	2.32831E+22	7.95866E+24	0.002925500162	0.2926%	128
17	5.82077E+23	2.86512E+26	0.002031597335	0.2032%	136
18	1.45519E+25	1.03144E+28	0.001410831482	0.1411%	144
19	3.63798E+26	3.71319E+29	0.000979744085	0.0980%	152
20	9.09495E+27	1.33675E+31	0.0006803778368	0.0680%	160
21	2.27374E+29	4.8123E+32	0.0004724846089	0.0472%	168
22	5.68434E+30	1.73243E+34	0.0003281143117	0.0328%	176
23	1.42109E+32	6.23674E+35	0.0002278571609	0.0228%	184
24	3.55271E+33	2.24523E+37	0.0001582341395	0.0158%	192
25	8.88178E+34	8.08281E+38	0.0001098848191	0.0110%	200
26	2.22045E+36	2.90981E+40	0.00007630890216	0.0076%	208
27	5.55112E+37	1.04753E+42	0.00005299229317	0.0053%	216
28	1.38778E+39	3.77112E+43	0.00003680020359	0.0037%	224
29	3.46945E+40	1.3576E+45	0.00002555569694	0.0026%	232
30	8.67362E+41	4.88737E+46	0.00001774701176	0.0018%	240
31	2.1684E+43	1.75945E+48	0.00001232431372	0.0012%	248
32	5.42101E+44	6.33403E+49	0.000008558551197	0.0009%	256
33	1.35525E+46	2.28025E+51	0.000005943438331	0.0006%	264
34	3.38813E+47	8.2089E+52	0.00000412738773	0.0004%	272
35	8.47033E+48	2.9552E+54	0.000002866241479	0.0003%	280
36	2.11758E+50	1.06387E+56	0.000001990445472	0.0002%	288
37	5.29396E+51	3.82994E+57	0.0000013822538	0.0001%	296
38	1.32349E+53	1.37878E+59	0.0000009598984721	0.0001%	304
39	3.30872E+54	4.96361E+60	0.0000006665961612	0.0001%	312
40	8.27181E+55	1.7869E+62	0.0000004629140008	0.0000%	320

Como comprenderás, tanto para elaborar como para interpretar una tabla como esta, se requieren competencias previas que van desde la comprensión y lectura de notación decimal, comprensión y lectura de proporciones, comprensión de porcentajes, una buena comprensión del juego en sí y una buena dosis de análisis, bueno, no exageremos. Tampoco es cálculo diferencial ni análisis de patrones en los números primos, pero tampoco es algo que la gente nazca sabiendo. En matemática todo nuevo conocimiento se va construyendo sobre el anterior.

Mi punto es que un simple juego puede llevar a análisis bastante complejos, y en cada una de las etapas cuando se van comprendiendo, se van descubriendo los placeres de la comprensión de los fenómenos a nuestro alrededor. Hoy en día la matemática y cada una de sus ramas como la estadística, son indispensables para la comprensión de los fenómenos que suceden en nuestra vida cotidiana y para la toma de decisiones en cualquier campo. 

Al momento de escribir estas líneas nos encontramos en medio de una crisis a nivel mundial sin precedentes, tal como lo es el caso de una pandemia provocada por el virus COVID-19, la cual tiene a las naciones temblando y a los matemáticos, así como a otros científicos analizando la mejor manera de afrontarla, ¿basados en qué cosa? si no en los datos y el estudio profundo de los mismos por medio del análisis estadístico. Se han generado gráficas de tendencias y gráficas de medición de la efectividad de medidas tomadas, y se hacen pronósticos sorprendentemente efectivos en cuanto al rumbo que van tomado los hechos.

Así que desde un simple juego, hasta una situación de vida o muerte, la matemática es la base para la toma de decisiones más efectivas en los distintos escenarios de la vida. Sea cual sea el nivel en el cual te encuentres actualmente, una cosa es segura: ¡Puedes aprender más! Mientras más sepas y comprendas, estarás en una mejor posición para tomar decisiones más acertadas, las cuales te brinden mejores probabilidades de triunfar, de progresar, e incluso, de sobrevivir. No le tengas miedo. Nadies es ‘malo para la matemática’. Solo debemos tener el deseo y hacer el esfuerzo por ir aprendiendo cada día más y compartir de ser posible, este conocimiento con otras personas.

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