Blog # 0.04 Números pares con material Manipulativo

El pensamiento matemático se debe ir construyendo sobre bases sólidas. Lamentablemente la metodología tradicional muchas veces le apuesta más a la velocidad y al cumplimiento de programas y planificaciones, las cuales no necesariamente van acorde a las necesidades de los estudiantes. No es que sea malo planificar y programar, sino que esta programación debe ser lo suficientemente flexible para adaptarse a las necesidades de los estudiantes. 

El concepto de número par e impar es algo que en algún momento de nuestra infancia probablemente comprendimos, o quizá solo memorizamos que los números terminados en 0, 2, 4, 6 y 8 son pares, mientras que los terminados en 1, 3, 5, 7 y 9 son impares. Sin embargo, si bien esta memorización es importante, queda un poco estéril si no se ha asimilado el concepto propiamente dicho.

En la metodología de los países que mejores resultados alcanzan en las pruebas PISA y otras mediciones internacionales (Singapur, Finlandia, China, Corea del Sur, etc.), destaca algo muy interesante, y es que le dan mucha relevancia al desarrollo del concepto por medio del uso de los diversos lenguajes de la matemática. Particularmente al orden en el que estos se van asimilando de manera más fluida, esto es: Manipulativo (Concreto) → Gráfico (Pictórico) → Simbólico (Abstracto).

En el caso de los números pares (e impares), antes de memorizar las terminaciones arriba mencionadas, te recomiendo que asimiles primero el concepto, y para esto lo mejor es considerar que en la naturaleza y en tu propio cuerpo existen elementos que vienen en pares, debido a la simetría que predomina en la naturaleza. El niño debe observar primero en sí mismo y en sus compañeros, que tiene dos ojos, dos orejas, dos manos, dos pies, etc. El primer lenguaje manipulativo del que tenemos disposición es nuestro propio cuerpo y el de aquellos quienes nos rodean.

Posteriormente hay que considerar que el contexto inmediato de los niños se compone de sus juguetes, su familia, su casa y la escuela. Por eso para facilitar la asimilación de este concepto, sugiero utilizar precisamente estos elementos. Esto correspondería con un lenguaje manipulativo “real”, al tratarse de elementos del contexto del niño.

A continuación, se puede recurrir al lenguaje manipulativo “representativo”, el cual consiste en objetos con los cuales el niño puede interactuar con sus manos (de allí el término “manipulativo”), pero que tienen una característica neutra, porque pueden representar cualquier cosa. En este sentido un material excepcionalmente eficaz lo constituye el conjunto de regletas de Cuisenaire o números de colores, las cuales fueron inventadas alrededor de los años 40’s del siglo pasado por Georges Cuisenaire de origen Belga. Desde el siglo pasado han sido utilizadas en muchos países como parte de su metodología de la enseñanza de la matemática por sus propiedades proporcionales. Concretamente se pueden representar todo tipo de ideas y conceptos matemáticos debido a sus proporciones, lo cual facilita la comprensión y el desarrollo de una base sólida de conceptos desde los más básicos hasta más complejos, al grado que se puede facilitar el aprendizaje de la aritmética, el álgebra, la geometría, la estadística, y muchas áreas más (han sido utilizadas con gran éxito también en la enseñanza de idiomas y de música).

En el video que compartí en el canal de matematiza, se puede apreciar cómo de manera sencilla y con una simple mnemotécnica, se puede asimilar de una vez por todas el concepto de números pares e impares.

Es importante que en esta exploración tanto el padre de familia como el maestro acompañe al niño a “descubrir”, más que a explicarle o “darle” el tema. ¿Qué quiero decir con esto? En la educación tradicional, el maestro lleva una agenda de lo que debe “dar” o explicar al estudiante, pero rara vez se promueve el descubrimiento y la asimilación de conceptos por medio de la exploración. Este es uno de los elementos que hace una enorme diferencia en los países que puntúan más alto en el desarrollo de competencias matemáticas a nivel mundial, en los cuales se toman el debido tiempo para permitir este descubrimiento por parte de los niños, y el docente se convierte en un facilitador del aprendizaje, alguien que por su conocimiento y características personales (vocación y un interés genuino por el aprendizaje de los estudiantes), constituye un aliado ideal en el proceso de aprendizaje.

Como un elemento complementario en la metodología del desarrollo del concepto, es muy importante que se complemente por medio de la verbalización del niño acerca del concepto adquirido, por medio de preguntas del tipo: ¿Cómo le explicarías a un amigo cuáles son los números pares?, ¿Serías tan amable de explicarme de qué se tratan los números pares? o bien ¿Entonces, cómo me puedes ayudar a distinguir los números pares de los impares?, etc.

Esta verbalización es el punto culminante del proceso de asimilación del concepto, ya que si una persona es capaz de explicar con sus propias palabras un concepto, especialmente si es capaz de hacerlo en términos sencillos que podría entender un niño, entonces, es una evidencia de que lo comprende. En niños que ya saben escribir, esta explicación se recomienda que cada niño la reflexione y la plasme por escrito en el nivel individual, y de ser posible, que la pueda discutir en parejas o tríos para exponer un concepto más claro. Estos conceptos pueden ir formando un Glosario de términos matemáticos producido por los mismos estudiantes, a diferencia de simplemente buscar el concepto en Wikipedia o en el navegador, aunque claro está que consultar este tipo de fuentes de es un apoyo y un complemento para ver si se tiene bien un concepto, pero debería ser el último paso y no al revés. Cuando los maestros piden un glosario a los estudiantes, es típico que estos busquen rápidamente en internet, copien y peguen, pero no necesariamente asimilen el concepto.

Espero que estas ideas metodológicas las puedas ir extendiendo a variedad de temas, y que compartas tus opiniones o generes debate en el espacio de comentarios. 

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Blog # 0.03 Juego de Tenis con Calculadora

¿Alguna vez te has preguntado si es posible jugar algo divertido con una calculadora? Hoy te presento un divertido juego para dos personas o dos equipos, el cual tiene como objetivo no solamente divertirnos sanamente durante unos minutos, sino servir de entrenamiento para nuestra habilidad de cálculo mental rápido.

Comúnmente se ha considerado que usar una calculadora es incompatible con la habilidad del cálculo mental, sin embargo, al jugar este divertido juego, comprobarás que esto no es realmente así.

Materiales:

Una calculadora por pareja

Papel y lápiz / lapicero

Descripción:

Se dibuja en una hoja de papel una ‘cancha de tenis’ como la siguiente:

Se definen los límites y centro de la cancha. Estos se escogerán de acuerdo al grado de dificultad que se desee para la partida, por ejemplo, pueden ser 10 y 30 como límites con el 20 como centro (notar que el centro está equidistante de los dos límites exteriores de la cancha)

A continuación, el jugador cuya fecha de cumpleaños esté más cercana, será quien inicie la partida. En el ejemplo anterior si el jugador quien está sentado en el extremo donde está ubicado el número 10 debe comenzar, tendría que escribir en la calculadora un número comprendido entre el 20 y el 30 (X:{20<X<30}), por ejemplo el 27 (si los jugadores se sienten cómodos utilizando decimales podría teclear algo como 23.8 ó 29.07, esto dependerá del nivel académico de los participantes). 

El contrincante a su vez responderá presionando en la calculadora una operación aritmética que lleve como resultado algún número ubicado en el lado de ‘la cancha’ del primer jugador, en nuestro ejemplo, un número entre 10 y 20 (X:{10<X<20}), por ejemplo, si el primer jugador inició con 27, podría teclear: “- 11”, lo cual reflejaría como resultado en la pantalla un 16.

A continuación, el primer jugador tendría que responder tecleando en la calculadora otra operación, la cual dé como resultado un número entre 20 y 30, por ejemplo: “+13”, con lo cual se llegaría en la pantalla a un 29, y así sucesivamente hasta que algún jugador se equivoque, e ingrese en la calculadora una operación cuyo resultado no esté comprendido en el rango que representa la ‘cancha’ de su oponente. 

Cabe aclarar que el ‘tiro’ debe aterrizar siempre DENTRO del rango del terreno del adversario (tal como en el tenis) y NO EN LA LÍNEA, en cuyo caso se considerará fallo, y por lo tanto es punto para el adversario. 

Se pueden jugar ‘sets’ a tres puntos o a cinco, según la disponibilidad de tiempo y ánimo de los jugadores. También se recomienda de ser posible cambiar de ‘cancha’ al finalizar cada set, de manera que cada jugador practique tanto la suma como la resta, o varíe entre aumentar números en un set y disminuirlos en otro. 

En la medida que los jugadores tengan un mayor dominio de los diversos conceptos matemáticos, y de cómo funcionan las diversas opciones aritméticas, pueden incorporar operaciones de manera mucho más amplia. Por ejemplo multiplicando por 0.5 para disminuir una cantidad, o dividiendo entre 1.9 para obtener un número cercano a la mitad del número que aparece en la pantalla de la calculadora.

Como podrás notar, el juego requiere capacidad de cálculo mental, para poder jugarse con éxito, ya que aunque se esté jugando con una calculadora, los jugadores deben hacer una rápida estimación en su cerebro de por dónde andará el resultado o hacer el cálculo exacto en pocos segundos. Además involucra una comprensión de cómo funcionan las operaciones aritméticas, tal como se mencionó en el párrafo anterior.

….

Nota para los Docentes:

A los maestros que deseen aplicar este divertido juego en el aula les sugiero que se aseguren que sus estudiantes tengan una comprensión previa del concepto de número, especialmente cuando se involucren números decimales. Es común que un estudiante piense que 0.11 es más que 0.9, ya que el 11 es mayor que el 9. Lleva un tiempo comprender que el 0.9 puede expresarse también como 0.90, 0.900, 0.9000, etc.

Para dicho propósito hay infinidad de actividades que se pueden realizar, pero les sugiero seguir una línea metodológica que vaya de lo manipulativo/concreto a lo simbólico/abstracto, pasando por el lenguaje gráfico (en futuros blogs estaré compartiendo explicaciones y ejemplos de esta metodología conocida como “Los lenguajes de la Matemática”). También sugiero que se realicen actividades con recta numérica en el aula.

A continuación te presento algunos ejemplos de otras ‘canchas’ con las que se puede jugar, pero el límite es la imaginación.

Comparte tus opiniones en la sección de comentarios y cuéntanos si te animaste a jugar “Tenis con Calculadora”

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Blog # 0.01 Matemática para la Vida

Hace un par de años como parte de un proyecto de actualización docente, tuve la oportunidad de visitar una pequeña comunidad en una provincia de mi país. En esa ocasión realizaba una observación en una escuelita del gobierno, por lo que, luego de presentarme con la directora del plantel, me invitó a pasar a uno de los salones. Saludé a la maestra y a los niños y me senté en una mesa junto a una niña de aproximadamente 11 años, quien me sonrió tímidamente. 

Lo primero que me llamó la atención fue la disposición del salón. En cada una de sus paredes había una pizarra, y ante cada pizarra, un pequeño grupo de alrededor de 10 niños. Cada grupo de niños era de distinta edad de los otros grupos, por lo que comprendí que me encontraba en un aula multigrado, donde compartían salón niños de 4to., 5to. y 6to. de educación primaria.

La maestra como parte de su rutina de clase colocaba operaciones aritméticas en una pizarra y luego se dirigía a otra para poner otro tipo de operaciones acorde a lo que se considera al nivel académico del grupo que se encontraba frente a esa pizarra. En la pizarra frente al grupo más cercano donde yo me senté puso algunas sumas de números de 4 dígitos, en la pizarra de la otra pared puso algunas raíces cuadradas de números de 5 ó 6 dígitos (eran el grupo de los niños “mayorcitos”), y así con los demás grupos. Al tiempo que trataba de mantener la disciplina lo mejor que podía (y los niños de hecho, no estaban inquietos, quizá por la presencia de un extraño en su salón). La niña que estaba a mi lado tenía una actitud bastante disciplinada, lo cual llamó mucho mi atención, y en unos momentos copió las operaciones que debía realizar y se puso “manos a la obra”.

Una de las sumas que tenía que realizar era la siguiente:

4687+

5905

luego de unos minutos de concentración, la niña llegó ‘exitosamente’ al siguiente resultado’

  4687+

  5905

10592

Cuando la niña terminó su suma, la cual como pude comprobar había resuelto correctamente, le pregunté: “¿Cuánto te dio?”

Ella volteó y me miró un poco desconcertada, volteó a ver a su cuaderno y me respondió: “No sé”. Su respuesta me sorprendió y pensé: Quizá la niña es muy tímida como para decirme la respuesta o no confía en que la haya resuelto bien, así que insistí y con una sonrisa le dije: “¿No sabes? Mmm… a mí me parece que sí lo sabes” “¿Puedes contarme cuánto te salió?”. La niña me miró y volteó a ver su cuaderno y en su rostro lo que pude ver no fue timidez, sino concentración y confusión. Realmente la niña parecía estar tratando de comprender el resultado de su suma, y de nuevo me respondió “No sé”. Posiblemente más por incredulidad que por otra cosa, insistí (quizá incomodando un poco a la niña) y le dije, señalando la respuesta en su cuaderno: “Pero si aquí tienes la respuesta”, “¿Quisieras contarme cuánto te quedó de respuesta?” y finalmente la niña, probablemente ya bastante incomodada por mi insistencia, miró su cuaderno, me volteó a ver a mí y volteó de nuevo a su cuaderno y con evidente frustración en su rostro me contestó: “De verdad, no lo sé”.

En ese momento, comprendí la triste realidad… la niña conocía y sabía aplicar el algoritmo tradicional de la suma, pero no tenía claro, ni el significado de las cifras ni el concepto de lo que estaba haciendo, en este caso, sumar dos cantidades de algunas unidades de millar. Le puse la mano en el hombro y le dije: “No tengas pena” (forma coloquial en Guatemala, que significa “No te avergüences”). Luego le pregunté, para desviar el tema y permitirle salir de su vergüenza, “¿Qué es lo que más te gusta de venir a la escuela” y me respondió: “Que dan atol y galleta para la refacción”. Esto ya fue demasiado para mí, y tuve que voltear el rostro para ocultar mis emociones. Al final le dije: “Bueno, no te interrumpo más, sigue con tus operaciones”, y me sumí en mis pensamientos. Pensamientos acerca de cómo estamos en educación en general en muchas áreas de latinoamérica y del mundo, pensamientos acerca de condiciones de vida de millones de personas alrededor del mundo, pensamientos acerca de maestros que día a día hacen lo mejor que pueden con los recursos y conocimientos que poseen, y muchas otras cosas más, las cuales sería muy largo abarcar en este blog, pero las cuales iré planteando en futuras entradas.

A lo largo de mis 20 años de trabajar en el área educativa en mi país, y de investigar acerca de los sistemas educativos de otros países y regiones del mundo,  he podido notar que tanto en el sector público como en el privado, se tiende a hacer, en el área de matemática, demasiado énfasis en el manejo de algoritmos, principalmente en el nivel “simbólico”, es decir usando los numerales, y en la mayoría de los casos ignorando otros recursos didácticos como el uso del material concreto o manipulativo o el uso del lenguaje gráfico, así como dejando en lugar muy secundario, un lenguaje adecuado al contexto de los estudiantes. Esto aunado a otras carencias educativas, sociales y culturales, hace que para la mayoría de los estudiantes, la matemática sea una materia, no solamente aburrida, sino difícil y en algunas ocasiones hasta detestable, ya que lejos de comprenderla y aplicarla a su vida cotidiana, la ven como una carga académica y como una frustración. Es evidente que lo que no comprendemos tiende a frustrarnos y a causarnos rechazo.

Es por esta razón que he decidido lanzar el proyecto: “Matematiza”, Matemática para la Vida, el cual tiene como principal objetivo, facilitar el aprendizaje efectivo de la matemática de una manera divertida pero profunda, buscando siempre los medios más efectivos con énfasis en el desarrollo de competencias para la vida cotidiana.

Estoy consciente que la matemática es muy extensa y que sería muy ambicioso abarcarla toda en cualquier proyecto. También estoy consciente que hay una buena parte de la matemática que es principalmente teórica y que incluso a los más brillantes matemáticos del mundo se les dificulta encontrarles una aplicación práctica para la vida (al menos de momento). Pero dejaré esos temas para esas personas quienes disfrutan de sumergirse en el mundo de lo abstracto, en lo cual admito que puede haber también mucho placer “para quienes les gusta”. 

En este proyecto el cual incluye entre otras cosas un canal de YouTube, una página web, una academia de tutorías y diversos programas de actualización docente, me enfocaré junto con mis colaboradores, en facilitar a las personas una comprensión y aplicación práctica para la vida de diversos conceptos matemáticos, haciendo del aprendizaje de la matemática algo divertido, al mismo tiempo que significativo. 

Promovemos el desarrollo de aprendizaje autónomo, es decir, que cada persona desde la niñez sí es posible, pueda apropiarse de su propio proceso de aprendizaje, aprovechando esa curiosidad que es innata en el ser humano, y que lamentablemente a veces el mismo sistema educativo tiende a desmotivar. 

Te invitamos a acompañarnos en este maravilloso viaje de descubrimiento de la matemática… La matemática para la vida. 

Blog # 0.02 ¡Eres más listo de lo que crees!

¿Alguna vez has pensado que no eres bueno para las matemáticas? 

Qué pensarías si te preguntara… ¿Con cuánto dinero salí de mi casa si ya me gasté el 50% de ese dinero y aún tengo $ 15 en el bolsillo? (nadie me regaló, ni encontré dinero en el camino) 😀

Si lo piensas un instante sabrás perfectamente que salí con $.30

Bueno, y si te preguntara que tan bueno eres para resolver ecuaciones lineales de primer grado, quizá dudarías un poco. Pues te cuento que si pudiste resolver la pregunta de arriba, acabas de resolver una ecuación lineal de primer grado y quizá no lo notaste. Claro, si te la hubiera presentado de esta manera :

100 % X – 50 % X = $ 15

Probablemente te lo hubieras pensado un poco más y quién sabe cómo te hubiera ido 😅

Bueno. Mi punto es, que nadie es “malo para las matemáticas”. Considero que todo depende de cómo se nos presenten o de cómo las conozcamos y practiquemos. El ejemplo que te puse con mi pregunta, involucra todas las operaciones aritméticas, y aún así algunos de ustedes quizá lo pudieron resolver en un par de segundos y sin la ayuda de una calculadora ni de lápiz y papel. 

Si no crees que esa pregunta tan sencilla pueda involucrar a las cuatro operaciones básicas, observa cómo se resuelve paso a paso como lo haría tú queridísimo profesor de matemática :

100 % X – 50 % X = $ 15

(100/100) X – (50/100) X = $ 15

100 X / 100 – 50 X / 100 = $ 15

(100 X – 50 X) / 100 = $ 15

100 X – 50 X = $ 15 * 100

50 X = $ 1500

X = $ 1500/50

X = $ 30

Admito que ver todo esto en la pizarra puede ser un poco intimidante para la mayoría de los mortales, pero solamente es una forma simbólica, ordenada, y estructurada de resolver un problema de este tipo. Sin embargo, como te pudiste dar cuenta, el problema en sí no es difícil, principalmente cuando lo vemos desde la perspectiva del primer planteamiento, es decir, el del contexto. 

Por eso desde hace muchos años educadores del más alto nivel han recomendado enlazar la enseñanza de la matemática con el contexto de las personas. Considero importante mencionar que a medida que una persona crece y se desarrolla, dicho contexto tiende a ampliarse cada vez más. Esto lleva una secuencia lógica de la siguiente manera: El primer contexto que conoce el niño es su propia casa, sus juguetes, padres, hermanos y otras personas cercanas.  De manera que los ejemplos desde los cuales puede ir desarrollando sus primeras nociones y conceptos deberán contextualizarse desde estos ambientes, objetos y personas. Poco a poco y a medida que el niño va conociendo otros ambientes como las casas de los vecinos y de otros parientes, dicho contexto crece. A medida que el niño experimenta la escolarización, dicho contexto se amplía, como es natural, al ámbito escolar y todo lo relacionado con dicho ambiente… las instalaciones de su escuela, sus compañeros, maestros, director, tareas, útiles, etc. Simultáneamente su contexto social también aumenta y el niño comienza a apreciar vacaciones y salidas a otros sitios más lejanos de su casa, los cuales no apreciaba cuando era un bebé o un párvulo. De tal suerte que poco a poco el niño se irá familiarizando con otros pueblos que le son presentados, normalmente aún dentro del contexto de su cultura. 

De este modo y dependiendo de las posibilidades económicas de su familia, el niño podrá estar expuesto incluso a otros países y culturas. El sistema educativo de alguna manera intenta exponer al niño a diversas culturas y maneras de pensar por medio de cursos de geografía y de estudios sociales, los cuales usualmente tienen un alcance muy limitado debido a que como mencioné anteriormente, no todos los niños tienen la opción de tener contacto con personas de otras culturas. Sin embargo, considero que se debe considerar que el acceso a internet y a las redes sociales, cada vez permite una mayor interacción con personas de distintas culturas, aunque hay que tomar en cuenta que estas interacciones difícilmente llegarán al nivel de relación que se alcanzaría si las personas tuvieran la oportunidad de interactuar directamente en esas culturas y sociedades.

Dicho todo esto, los padres de familia, maestros y educadores en general, deberán considerar primordialmente el contexto y lenguaje de las personas a quienes intentan ayudar a aprender, a fin de que dicho aprendizaje sea verdaderamente significativo, es decir, que realmente signifique algo que el cerebro del niño pueda comprender y asimilar. Lamentablemente, la práctica docente tradicional tiende a alejarse de estos principios, especialmente en lo concerniente a la metodología didáctica de la matemática, la cual usualmente intentan transmitir usando únicamente el lenguaje simbólico abstracto, lo cual se aleja de la realidad y cotidianidad de los individuos.

Así que, volviendo a mi punto inicial, la matemática en sí no es difícil de comprender para el ser humano promedio, pero la manera en la que esta se presenta comúnmente ha hecho que a la mayoría de personas se les dificulte, e incluso ha causado un decidido rechazo en muchos individuos lo cual en mi opinión es sumamente lamentable, ya que limita no solamente el desarrollo de la ciencia al prevenir que gran cantidad de personas se interesen en carreras científicas, sino que en el plano más cotidiano afecta la capacidad de los individuos de ser más eficientes en los diversos contextos laborales, de negocios, de consumo, etc. 

Por lo tanto, he decidido lanzar este proyecto educativo, en el cual pretendo poner al alcance de todas las personas, diversas técnicas e ideas que faciliten el desarrollo de múltiples competencias matemáticas las cuales sean aplicables en los más variados contextos y ayuden a personas de todas las edades y niveles académicos a ser individuos más competentes, y ¿por qué no?, más felices, al entender mejor el mundo que les rodea. 

Te invito a que te embarques conmigo en esta misión y que en el camino descubras y desarrolles aún más tu enorme potencial. Tu cerebro es un órgano increíble, con alrededor de 85,000,000,000 de neuronas y entre 10 y 100 mil billones de conexiones entre ellas. No existe ninguna razón para que un ser humano común y corriente no pueda llegar a comprender matemática del más alto nivel (o cualquier otra ciencia, para tal efecto), pero también debemos estar conscientes que esto no se logra de la noche a la mañana, y que dicho aprendizaje está estrechamente ligado a la motivación e interés, el cual tristemente se ha comprobado que en la mayoría de los casos va decayendo a medida que los estudiantes avanzan en el sistema educativo. 

Así que, sin más que decir por hoy te invito a que compartas este blog así como mis redes sociales con tus amigos y que estés atento a mis próximas publicaciones y lanzamiento de mi canal de youtube, en el cual estaré subiendo contenido interesante para personas de todas las edades y mucho material para didáctica de la matemática. Muchas gracias.